Jesús Alcolea Banegas

Profesor del departamento de Lógica y Filosofía de la Ciencia

Decano de la Facultad de Filosofía y Ciencias de la Educación de la Universitat de València

Nuestro objetivo es intentar explicar lo que significa "existir" en matemáticas y las respuestas que se han dado desde las principales posiciones filosóficas defendidas por algunos pensadores (filósofos y matemáticos): formalismo, intuicionismo, platonismo, etc. Para ello presentaremos estas posiciones con sus rasgos típicos, señalando a continuación las ventajas y los inconvenientes de cada una de ellas para la práctica y la actividad matemáticas.

Desde que Rudolf Carnap lo formulara la primera vez en los años 30 del siglo pasado, se ha venido repitiendo que el típico "matemático activo" es un platonista entre semana y un formalista los domingos. Es decir, cuando cultiva las matemáticas, está persuadido de que estudia una realidad objetiva e independiente de su consideración cuyas propiedades trata de determinar o de descubrir. Sin embargo, cuando se le pide una justificación o una explicación (filosófica) de esa realidad, se percata de las dificultades que ello entraña y se limita a presentar su actividad como un juego con signos carentes de significado, que no les compromete -aparentemente- con nada más allá de los signos y comportándose como un cómodo antiplatonista. Esta posición tan cómoda, aunque permite salvar el expediente, en la medida en que puede tranquilizar a más de un matemático, no deja de tener sus peligros. Entre otras cosas deja sin explicar la presunta objetividad de la ciencia exacta. La clave podría estar en aproximar las posiciones filosóficas, en busca de un entendimiento y tomando lo valioso de cada una de ellas. Las consecuencias son sorprendentes, pues pueden ayudarnos a comprender la naturaleza de la matemática y de sus teorías, y la justificación del conocimiento matemático.

Se da así cumplida cuenta de los aspectos filosóficos de la investigación de los fundamentos de la matemática que consiste -como ya dijera el matemático holandés Arend Heyting, a mediados del siglo pasado- "en examinar la esencia del conocimiento matemático, sus hipótesis y su objeto final, sus relaciones con otros dominios científicos" y la forma de distinguirse de éstos por su contenido y su método.